Giáo Dục

Giải bài 1, 2, 8, 9, 14 trang 80 81 82 SGK Giải Tích 12 nâng cao

Cùng Natu Food VN thực hiện việc giải các bài tập số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 và 14 trang 80, 81 82 trong chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian, nội dung bài Hệ tọa độ trong không gian, Hi vọng qua tài liệu, các em sẽ nắm được cách vận dụng vào làm các bài tập tương tự.

Chúng mình sẽ chia sẻ các bước giải bài tập từ trang 80 tới trang 82 một cách chi tiết nhất, trong quá trình tham khảo cách làm, nếu có vấn đề gì chưa hiểu, các bạn hãy đặt câu hỏi ngay dưới bài viết để chúng ta cùng bàn luận nha, ngoài ra, đừng quên chia sẻ để các bạn của mình biết được tài liệu hay này nha các bạn.

Giải bài tập SGK Hình học 12 nâng cao: Hệ tọa độ trong không gian.

Giải bài 1 trang 80 sgk hình học 12 nâng cao

a) Ta có $overrightarrow u = overrightarrow i – 2overrightarrow j $ nên $overrightarrow u = (1; – 2;0).$
$overrightarrow v = 3overrightarrow i + 5(overrightarrow j – overrightarrow k )$ $ = 3overrightarrow i + 5overrightarrow j – 5overrightarrow k $ nên $overrightarrow v = (3;5; – 5).$
$overrightarrow w = 2overrightarrow i – overrightarrow k + 3overrightarrow j $ $ = 2overrightarrow i + 3overrightarrow j – overrightarrow k $ nên $overrightarrow w = (2;3; – 1).$
b) Ta có $cos left( {overrightarrow v ,overrightarrow i } right) = frac{{overrightarrow v .overrightarrow i }}{{|overrightarrow v |.|overrightarrow i |}}.$
Mà $overrightarrow v = (3;5; – 5)$, $overrightarrow i = (1;0;0)$ nên $overrightarrow v .overrightarrow i = 3$, $|overrightarrow v | = sqrt {9 + 25 + 25} = sqrt {59} $, $|vec i| = 1.$ Suy ra $cos (overrightarrow v ,overrightarrow i ) = frac{3}{{sqrt {59} }}.$
Tương tự, ta có $cos (overrightarrow v ,overrightarrow j ) = frac{5}{{sqrt {59} }}$; $cos (overrightarrow v ,overrightarrow k ) = frac{{ – 5}}{{sqrt {59} }}.$
c) Theo câu a, ta có $overrightarrow u = (1; – 2;0)$; $overrightarrow v = (3;5; – 5)$; $overrightarrow w = (2;3; – 1)$ nên $overrightarrow u .overrightarrow v = – 7$; $overrightarrow u .overrightarrow w = – 4$; $overrightarrow v .overrightarrow w = 26.$

Giải bài 2 trang 80 sgk hình học 12 nâng cao

Giả sử $overrightarrow u = (a;b;c)$, ta có: ${cos ^2}(vec u,vec i)$ $ = {left( {frac{{overrightarrow u .overrightarrow i }}{{|overrightarrow u |.|overrightarrow i |}}} right)^2}$ $ = frac{{{a^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}.$
Tương tự, ${cos ^2}(vec u,vec j) = frac{{{b^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}$; ${cos ^2}(overrightarrow u ,overrightarrow k ) = frac{{{c^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}.$
Suy ra: ${cos ^2}(vec u,vec i) + {cos ^2}(vec u,vec j) + {cos ^2}(vec u,vec k)$ $ = frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} = 1.$

Giải bài 3 trang 81 sgk hình học 12 nâng cao

a) $cos (vec u,vec v) = frac{{vec u.vec v}}{{|vec u|.|vec v|}}$ $ = frac{{2 + 1 – 1}}{{sqrt {1 + 1 + 1} .sqrt {4 + 1 + 1} }}$ $ = frac{2}{{3sqrt 2 }} = frac{{sqrt 2 }}{3}.$
Vậy góc giữa $overrightarrow u $ và $overrightarrow v $ là một góc thuộc khoảng $left( {{0^0};{{180}^0}} right)$ có cosin bằng $frac{{sqrt 2 }}{3}.$
b) Vì $overrightarrow u = 3overrightarrow i + 4overrightarrow j $ nên $overrightarrow u = (3;4;0).$
Vì $overrightarrow v = – 2overrightarrow j + 3overrightarrow k $ nên $overrightarrow v = (0; – 2;3).$
Suy ra $cos (vec u,overrightarrow v ) = frac{{vec u.vec v}}{{|vec u|.|vec v|}}$ $ = frac{{ – 8sqrt {13} }}{{65}}.$
Vậy góc giữa $overrightarrow u $ và $overrightarrow v $ là một góc thuộc khoảng $left( {{0^0},{{180}^0}} right)$ có cosin bằng $frac{{ – 8sqrt {13} }}{{65}}.$

Giải bài 4 trang 81 sgk hình học 12 nâng cao

Để $overrightarrow p $ vuông góc với $overrightarrow q $ thì $overrightarrow p .overrightarrow q = 0.$
$ Leftrightarrow (kvec u + 17vec v)(3vec u – vec v) = 0$ $ Leftrightarrow 3k.{overrightarrow u ^2} – k.overrightarrow u .overrightarrow v + 51overrightarrow v .overrightarrow u – 17{overrightarrow v ^2} = 0.$
$ Leftrightarrow 12k + 5k – 255 – 17.25 = 0$ (vì $overrightarrow u .overrightarrow v = |overrightarrow u |.|overrightarrow v |.cos (overrightarrow u ,overrightarrow v ) = – 5$).
$ Leftrightarrow 17k = 680$ $ Leftrightarrow k = 40.$ Vậy $k = 40$ là giá trị cần tìm.

Giải bài 5 trang 81 sgk hình học 12 nâng cao

a) Hình chiếu của $M$ lên $mp(Oxy)$ có tọa độ là: $(a; b; 0).$
Tương tự, hình chiếu của $M$ lên $mp(Oxz)$ và $mp(Oyz)$ lần lượt có tọa độ là: $(a; 0; c)$ và $(0; b; c).$
Hình chiếu của $M$ lên các trục $Ox$, $Oy$, $Oz$ lần lượt có tọa độ là: $(a; 0; 0)$, $(0; b; 0)$, $(0; 0; c).$

giai bai 5 trang 81 sgk giai tich 12 nang cao

b) Ta có $d(M,(Oxy)) = |c|$, $d(M,(Oxz)) = |b|$, $d(M,(Oyz)) = |a|.$
$d(M,Ox) = sqrt {{b^2} + {c^2}} $, $d(M,Oy) = sqrt {{a^2} + {c^2}} $, $dleft( {M,Oz} right) = sqrt {{a^2} + {b^2}} .$
c) Điểm đối xứng của $M = (a;b;c)$ qua các mặt phẳng $(Oxy)$, $(Oxz)$ và $(Oyz)$ lần lượt có tọa độ là: $(a;b; – c)$; $(a; – b;c)$ và $( – a;b;c).$

Giải bài 6 trang 81 sgk hình học 12 nâng cao

Giả sử $M = (x;y;z)$, khi đó $overrightarrow {MA} = left( {{x_1} – x;{y_1} – y;{z_1} – z} right)$ và $koverrightarrow {MB} = left( {kleft( {{x_2} – x} right);kleft( {{y_2} – y} right);kleft( {{z_2} – z} right)} right).$
Để $overrightarrow {MA} = koverrightarrow {MB} $ thì $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{{x_1} – x = kleft( {{x_2} – x} right)}
{{y_1} – y = kleft( {{y_2} – y} right)}
{{z_1} – z = kleft( {{z_2} – z} right)}
end{array}} right.$ $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = frac{{{x_1} – k{x_2}}}{{1 – k}}}
{y = frac{{{y_1} – k{y_2}}}{{1 – k}}}
{z = frac{{{z_1} – k{z_2}}}{{1 – k}}}
end{array}} right..$
Vậy $M = left( {frac{{{x_1} – k{x_2}}}{{1 – k}};frac{{{y_1} – k{y_2}}}{{1 – k}};frac{{{z_1} – k{z_2}}}{{1 – k}}} right)$ với $k ne 1.$

Giải bài 7 trang 81 sgk hình học 12 nâng cao

Gọi $D = (x;y;z)$, để $ABCD$ là hình bình hành thì $overrightarrow {AD} = overrightarrow {BC} .$
Ta có $overrightarrow {AD} = (x + 3;y + 2;z)$, $overrightarrow {BC} = (2;3;1).$
Vậy $overrightarrow {AD} = overrightarrow {BC} $ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x + 3 = 2}
{y + 2 = 3}
{z = 1}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 1}
{y = 1}
{z = 1}
end{array}} right.$ hay $D = ( – 1;1;1).$
Khi đó, ta có $overrightarrow {BD} = ( – 4;4;0)$ và $overrightarrow {AC} = (8;2;2).$
Suy ra $cos (overrightarrow {AC} ,overrightarrow {BD} ) = frac{{overrightarrow {AC} .overrightarrow {BD} }}{{|overrightarrow {AC} |.|overrightarrow {BD} |}}$ $ = frac{{ – 32 + 8}}{{sqrt {32} .sqrt {72} }}$ $ = frac{{ – 24}}{{48}} = – frac{1}{2}.$
Vậy $(overrightarrow {AC} ,overrightarrow {BD} ) = {120^0}.$

Giải bài 8 trang 81 sgk hình học 12 nâng cao

a) Gọi $M = (a;0;0)$ thuộc $Ox$ thỏa mãn $MA = MB.$
Ta có $M{A^2} = {(1 – a)^2} + 4 + 9$ $ = {a^2} – 2a + 14$, $M{B^2} = {(3 + a)^2} + 9 + 4$ $ = {a^2} + 6a + 22.$
Để $MA = MB$ thì $M{A^2} = M{B^2}$ $ Leftrightarrow {a^2} – 2a + 14 = {a^2} + 6a + 22$ $ Leftrightarrow a = – 1.$
Vậy $M = ( – 1;0;0)$ là điểm cần tìm.
b) Ta có $overrightarrow {AB} = (2;sqrt 3 ;1)$, $overrightarrow {OC} = (sin 5t;cos 3t;sin 3t).$
Để $AB bot OC$ thì $overrightarrow {AB} .overrightarrow {OC} = 0$ $ Leftrightarrow 2sin 5t + sqrt 3 cos 3t + sin 3t = 0.$
$ Leftrightarrow sin 5t + frac{{sqrt 3 }}{2}cos 3t + frac{1}{2}sin 3t = 0$ $ Leftrightarrow sin 5t + sin left( {3t + frac{pi }{3}} right) = 0.$
$ Leftrightarrow 2sin left( {4t + frac{pi }{6}} right).cos left( {t – frac{pi }{6}} right) = 0$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}
{sin left( {4t + frac{pi }{6}} right) = 0}
{cos left( {t – frac{pi }{6}} right) = 0}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{t = frac{{ – pi }}{{24}} + frac{{kpi }}{4}}
{t = frac{{2pi }}{3} + npi }
end{array}} right.$ với $k,n in Z.$
Vậy $t = – frac{pi }{{24}} + frac{{kpi }}{4}$ và $t = frac{{2pi }}{3} + npi $ với $k,n in Z$ là những giá trị cần tìm.

Giải bài 9 trang 81 sgk hình học 12 nâng cao

Để xét tính đồng phẳng của $overrightarrow u $, $overrightarrow v $ và $overrightarrow w $ ta xét $left[ {overrightarrow u ,overrightarrow v } right].overrightarrow w .$
Nếu $left[ {overrightarrow u ,overrightarrow v } right].overrightarrow w = 0$ thì $overrightarrow u $, $overrightarrow v $, $overrightarrow w $ đồng phẳng.
a) Ta có $left[ {overrightarrow u ,overrightarrow v } right]$ $ = left( {left| {begin{array}{*{20}{r}}
3&4
{ – 1}&2
end{array}} right|;left| {begin{array}{*{20}{c}}
4&4
2&2
end{array}} right|;left| {begin{array}{*{20}{r}}
4&3
2&{ – 1}
end{array}} right|} right)$ $ = (10;0; – 10).$
Nên $[overrightarrow u ,overrightarrow v ].overrightarrow w $ $ = 10.1 + 0.2 + ( – 10).1 = 0.$
Vậy $overrightarrow u $, $overrightarrow v $ và $overrightarrow w $ đồng phẳng.
b) $overrightarrow u $, $overrightarrow v $ và $overrightarrow w $ không đồng phẳng.
c) $overrightarrow u $, $overrightarrow v $ và $overrightarrow w $ đồng phẳng.

Giải bài 10 trang 81 sgk hình học 12 nâng cao

a) Ta có $overrightarrow {AB} = ( – 1;0;1)$, $overrightarrow {AC} = (1;1;1)$, ta thấy $overrightarrow {AB} $ và $overrightarrow {AC} $ không cùng phương nên $A$, $B$, $C$ không thẳng hàng.
b) Gọi $D = (x;y;z)$, ta có $overrightarrow {AD} = (x – 1;y;z)$, $overrightarrow {BC} = (2;1;0).$ Để $ABCD$ là hình bình hành thì $overrightarrow {AD} = overrightarrow {BC} $, hay $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x – 1 = 2}
{y = 1}
{z = 0}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = 3}
{y = 1}
{z = 0}
end{array}} right.$, vậy $D = (3;1;0).$
c) Chu vi $Delta ABC$ là: $P = AB + BC + AC$ $ = sqrt 2 + sqrt 5 + sqrt 3 .$
Diện tích $Delta ABC$ là: $S = frac{1}{2}left| {[overrightarrow {AB} ,overrightarrow {AC} ]} right|.$
Ta có $left[ {overrightarrow {AB} ,overrightarrow {AC} } right]$ $ = left( {left| {begin{array}{*{20}{l}}
0&1
1&1
end{array}} right|;left| {begin{array}{*{20}{c}}
1&{ – 1}
1&1
end{array}} right|;left| {begin{array}{*{20}{c}}
{ – 1}&0
1&1
end{array}} right|} right)$ $ = ( – 1;2; – 1).$
Suy ra $S = frac{1}{2}sqrt {1 + 4 + 1} = frac{{sqrt 6 }}{2}$ (đơn vị diện tích).
d) Ta có ${S_{Delta ABC}} = frac{1}{2}.AH.BC$ $ Rightarrow AH = frac{{2.{S_{Delta ABC}}}}{{BC}}$ $ = frac{{sqrt 6 }}{{sqrt 5 }} = frac{{sqrt {30} }}{5}.$
e) $cos A = cos (overrightarrow {AB} ,overrightarrow {AC} )$ $ = frac{{overrightarrow {AB} .overrightarrow {AC} }}{{|overrightarrow {AB} |.|overrightarrow {AC} |}} = 0$ $ Rightarrow A = {90^0}.$
$cos B = cos (overrightarrow {BA} ,overrightarrow {BC} )$ $ = frac{{overrightarrow {BA} .overrightarrow {BC} }}{{|overrightarrow {BA} |.|overrightarrow {BC} |}}$ $ = frac{2}{{sqrt 2 .sqrt 5 }} = frac{{sqrt {10} }}{5}.$
$cos C = cos (overrightarrow {CA} ,overrightarrow {CB} )$ $ = frac{{overrightarrow {CA} .overrightarrow {CB} }}{{|overrightarrow {CA} |.|overrightarrow {CB} |}}$ $ = frac{3}{{sqrt 3 .sqrt 5 }} = frac{{sqrt {15} }}{5}.$

Giải bài 11 trang 81 sgk hình học 12 nâng cao

a) Ta có $overrightarrow {AB} = ( – 1;1;0)$, $overrightarrow {AC} = ( – 1;0;1)$, $overrightarrow {AD} = ( – 3;1; – 2)$ nên ta có $[overrightarrow {AB} ,overrightarrow {AC} ] = (1;1;1)$, suy ra $[overrightarrow {AB} ,overrightarrow {AC} ].overrightarrow {AD} = – 4 ne 0.$
Vậy $A$, $B$, $C$, $D$ không đồng phẳng, hay $A$, $B$, $C$, $D$ là bốn đỉnh của một tứ diện.
b) Ta có $cos (AB,CD)$ $ = |cos (overrightarrow {AB} ,overrightarrow {CD} )|$ $ = frac{{|overrightarrow {AB} .overrightarrow {CD} |}}{{|overrightarrow {AB} |.|overrightarrow {CD} |}}$ $ = frac{3}{{sqrt 2 .sqrt {14} }} = frac{{3sqrt 7 }}{{14}}.$
$cos (BC,AD)$ $ = |cos (overrightarrow {BC} ,overrightarrow {AD} )|$ $ = frac{{|overrightarrow {BC} .overrightarrow {AD} |}}{{|overrightarrow {BC} |.|overrightarrow {AD} |}}$ $ = frac{{| – 3|}}{{sqrt 2 .sqrt {14} }} = frac{{3sqrt 7 }}{{14}}.$
$cos (AC,BD)$ $ = |cos (overrightarrow {AC} ,overrightarrow {BD} )|$ $ = frac{{|overrightarrow {AC} .overrightarrow {BD} |}}{{|overrightarrow {AC} |.|overrightarrow {BD} |}} = 0$ $ Rightarrow AC bot BD.$
Ta có: ${V_{ABCD}} = frac{1}{6}|[overrightarrow {AB} ,overrightarrow {AC} ].overrightarrow {AD} |.$
Mà theo câu a, ta có $[overrightarrow {AB} ,overrightarrow {AC} ].overrightarrow {AD} = – 4$, nên ${V_{ABCD}} = frac{1}{6}.4 = frac{2}{3}.$
Mặt khác ${V_{ABCD}} = frac{1}{3}.AH.{S_{Delta BCD}}$ $ Rightarrow AH = frac{{3.{V_{ABCD}}}}{{{S_{Delta BCD}}}} = frac{2}{{{S_{Delta BCD}}}}.$
Mà ${S_{Delta BCD}} = frac{1}{2}|[overrightarrow {BC} ,overrightarrow {BD} ]|$ $ = frac{1}{2}sqrt {4 + 4 + 4} = sqrt 3 $ (vì $[overrightarrow {BC} ,overrightarrow {BD} ] = (2; – 2; – 2)$).
Suy ra $AH = frac{2}{{sqrt 3 }} = frac{{2sqrt 3 }}{3}.$

Giải bài 12 trang 81 sgk hình học 12 nâng cao

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho: Gốc tọa độ O trùng với A, Ox là tia AC, khi đó, ta có

giai bai 12 trang 82 sgk giai tich 12 nang cao

$A = (0;0;0)$, $B = (b;a;0)$, $C = (b;0;0)$, $S = (0;0;h)$ và $N = left( {frac{b}{3};frac{a}{3};frac{{2h}}{3}} right)$, $M = left( {frac{b}{2};0;0} right).$
Suy ra $overrightarrow {MN} = left( { – frac{b}{6};frac{a}{3};frac{{2h}}{3}} right).$
$overrightarrow {SB} = (b;a; – h).$
a) Ta có $MN = |overrightarrow {MN} |$ $ = sqrt {frac{{{b^2}}}{{36}} + frac{{{a^2}}}{9} + frac{{4{h^2}}}{9}} $ $ = frac{1}{6}sqrt {{b^2} + 4{a^2} + 16{h^2}} .$
b) Để $MN bot SB$ thì $overrightarrow {MN} .overrightarrow {SB} = 0.$
$ Leftrightarrow – frac{{{b^2}}}{6} + frac{{{a^2}}}{3} – frac{{2{h^2}}}{3} = 0$ $ Leftrightarrow 4{h^2} = 2{a^2} – {b^2}.$

Giải bài 13 trang 81 sgk hình học 12 nâng cao

a) Ta có: ${x^2} + {y^2} + {z^2} – 8x + 2y + 1 = 0.$
$ Leftrightarrow {(x – 4)^2} + {(y + 1)^2} + {z^2} = 16.$
Nên mặt cầu có tâm là $I(4; – 1;0)$ và bán kính $R = 4.$
b) Ta có: $3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2}$ $ + 6x – 3y + 15z – 2 = 0.$
$ Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x – y + 5z – frac{2}{3} = 0.$
$ Leftrightarrow {(x + 1)^2} + {left( {y – frac{1}{2}} right)^2} + {left( {z + frac{5}{2}} right)^2} = frac{{49}}{6}.$
Nên mặt cầu có tâm là $I = left( { – 1;frac{1}{2};frac{{ – 5}}{2}} right)$ và bán kính $R = frac{{7sqrt 6 }}{6}.$
c) Ta có: $9{x^2} + 9{y^2} + 9{z^2} – 6x + 18y + 1 = 0.$
$ Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} – frac{2}{3}x + 2y + frac{1}{9} = 0$ $ Leftrightarrow {left( {x – frac{1}{3}} right)^2} + {(y + 1)^2} + {z^2} = 1.$
Nên mặt cầu có tâm là $I = left( {frac{1}{3}; – 1;0} right)$ và bán kính $R = 1.$

Giải bài 14 trang 81 sgk hình học 12 nâng cao

a) Vì tâm mặt cầu nằm trên $mp(Oyz)$ nên ta gọi tâm mặt cầu là $I = (0;b;c).$
Vì mặt cầu đi qua $A$, $B$, $C$ nên ta có hệ:
$left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{AI = BI}
{BI = CI}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{A{I^2} = B{I^2}}
{B{I^2} = C{I^2}}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{{{(b – 8)}^2} + {c^2} = 16 + {{(b – 6)}^2} + {{(c – 2)}^2}}
{16 + {{(b – 6)}^2} + {{(c – 2)}^2} = {{(b – 12)}^2} + {{(c – 4)}^2}}
end{array}} right..$
$ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{3b + c = 26}
{ – b + c = – 2}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{b = 7}
{c = 5}
end{array}} right..$
Vậy phương trình mặt cầu là: ${x^2} + {(y – 7)^2} + {(z – 5)^2} = 26.$
b) Vì tâm mặt cầu nằm trên $Ox$ nên ta gọi tâm mặt cầu là $I(a;0;0).$ Vì mặt cầu tiếp xúc với $(Oyz)$ nên bán kính $R = d(I,(Oyz)) = |a|$, theo bài ra ta có $a = 2.$
Vậy phương trình mặt cầu là: ${(x – 2)^2} + {y^2} + {z^2} = 4.$
c) Vì mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng $(Oyz)$ và có tâm là $I = (1;2;3)$ nên ta có bán kính mặt cầu là: $R = d(I,(Oyz)) = 1.$

Vậy phương trình mặt cầu là: ${(x – 1)^2} + {(y – 2)^2} + {(z – 3)^2} = 1.$

Chúc các em học tốt!

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.

Back to top button